Ecuacion de poiseuille

  Ecuacion de poiseuille 

Ley de poiseuille ¿ Qué es? Aquí te lo explicamos

En fisiología es común usar como las unidades de presión, en mmHg. La resistencia que ofrece un vaso sanguíneo al flujo de la sangre se expresa mediante la ley de Poiseuille, que afirma que el flujo sanguíneo es proporcional a la cuarta potencia del radio del vaso e inversamente proporcional a la viscosidad.

La mayor sorpresa en la aplicación de la ley de Poiseuille al flujo de un fluido, es el enorme efecto que produce el cambio del radio del conducto. Una disminución del radio tiene el mismo efecto enorme, como se muestra en los ejemplos de flujo sanguíneo.

Ahora platicaremos sobre la ecuacion de poiseuille ¿Cómo se come eso? 

Permite determinar el flujo laminar estacionario (dV/dt) para un fluido incompresible, de viscosidad constante, a través de un tubo cilíndrico de radio r.

Consideremos un fluido que circula por una conducción cilíndrica de radio r. Tomemos un elemento infinitesimal de longitud z y radio interno s, con una presión p1 a la entrada y p2 a la salida.

Vamos a escribir las fuerzas que actúan sobre la capa de fluido situada entre s y s+ds.

•  Fuerzas hidrostáticas de presión (F=PS)
  • Fuerza debida a la presión de entrada: F1=2πSdS⋅P1
  • Fuerza debida a la presión de salida: F2=−2πSdS⋅P2
• Fuerzas de rozamiento.
  • Rozamiento con la parte interior FRI=−η⋅2πSdz(dV/dS)s. Como el gradiente de velocidad es negativo la fuerza de rozamiento es positiva ya que las capas internas van más rápidas y aceleran la capa de fluido considerada.
  • Rozamiento con la pared exterior FRE=η⋅2π(S+dS)dz(dV/dS)S+dS. Esta fuerza de rozamiento es negativa ya que se opone al movimiento de la capa considerada.

Una vez alcanzado el régimen estacionario: ∑Fi→=0

2πSdS⋅P1−2πSdS⋅P2−η2πSdz(dv/dS)S+η2π(S+dS)dz(dV/dS)S+dS=0(1)

Dado que P2=P1+dP

2πSdS⋅P1−2πSdS(P1+dP)−η2πSdz(dv/dS)S+η2π(S+dS)dz(dV/dS)S+dS=0(2)

Simplificando las expresión anterior

−2πSdSdP+2πηdz[(S+dS)(dv/dS)S+dS−S(dv/dS)s]=0(3)

Teniendo en cuenta la definición de derivada: df(x)=f(x+dx)−f(x), podemos escribir la expresión anterior de la siguiente forma

−SdSdP+ηdzd[sdvdS]=0(4)

dPdzSdS=ηd[sdvdS](5)

Integrando con el gradiente de presión constante

dPdzS22=ηSdvdS+C(6)

Dado que dv/ds no puede ser infinito, si haciendo S=0

0=0+C→C=0

Despejando dv

dv=12ηdPdzSdS(8)

Integrando de nuevo

v(S)=12ηdPdzs22+C(9)

Calculamos la nueva constante de integración, C, sabiendo que en las paredes de la conducción el flujo se anula, v(S=r)=0

0=12ηdPdzr22+C→C=−14ηdPdzr2

Reemplazando la constante de integración en la ecuación de la velocidad v(s)

v(s)=−14ηdPdz(r2−s2)(11)

Ecuación que nos da un perfil parabólico para la velocidad de un fluido en estado estacionario.

En un dt el volumen de fluido que se ha desplazado por la corona de espesor ds es: dV=2πSdS⋅v(s)dt. El volumen total que circula por la conducción lo obtenemos integrando desde S=0 hasta S=r.

dVdt=∫r02πS⋅v(S)dS(12)

Sustituyendo v(S) por su valor:

dVdt=2π∫r0S−14η(r2−s2)dPdz=−π2ηdPdz[r42−r44](13)

Haciendo la diferencia y simplificando se obtiene la ecuación diferencial de Poiseuille.

dVdt=−πr48ηdPdz(14)

En el caso de los líquidos podemos integrar ya que son poco compresibles y el volumen es independiente de la presión.

ΔVΔt=−πr48ηΔPΔz(15)

Les compartiremos un video con la explicacion paso a paso para que puedan comprender mejor el tema...

Aqui les dejamos nuestras fuentes confiables de donde fue sacada toditita esta información:

Fernández, G. (2108, 27 mayo). La ecuación de Poiseuille | FisicoQuímica. www.quimicafisica.com. https://www.quimicafisica.com/ecuacion-de-poiseuille.html

Ecuación de Poiseuille. (2019, 7 enero). YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=24J-WZfEvWw

Pressure. (2020). hyperphysics. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/ppois2.html